Verifique que a afirmação ux y=ux y esta correta:
u=x sin (x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as derivadas parciais mistas
uxy=partial^2 upartial ypartial x e
uyx=partial^2 upartial xpartial y
são iguais para a função
u = xsin(x+2y)
O conteúdo necessário é o cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a x. Aplicando regra do produto u = xcdotsin(x+2y) e regra da cadeia em sin(x+2y), obtemos
ux = partial upartial x = 1cdotsin(x+2y) + xcdotcos(x+2y)cdot 1 = sin(x+2y) + xcos(x+2y)

Passo 3

Agora diferenciamos ux em relação a y para achar
uxy=partialpartial yl(uxr). Como sin(x+2y) e cos(x+2y) dependem de y via x+2y, temos
uxy = partialpartial yl[sin(x+2y)r] + partialpartial yl[xcos(x+2y)r] = 2cos(x+2y) - 2xsin(x+2y)

Passo 4

Calcular a derivada parcial de u em relação a y. Aqui x é constante e só sin(x+2y) varia, dando
uy = partial upartial y = xcdotcos(x+2y)cdot 2 = 2xcos(x+2y)

Passo 5

Diferenciamos uy em relação a x para achar
uyx=partialpartial xl(uyr). Usando regra do produto em 2xcos(x+2y) e cadeia em cos(x+2y), obtemos
uyx = 2cos(x+2y) + 2xl[-sin(x+2y)r]cdot 1 = 2cos(x+2y) - 2xsin(x+2y)

Passo 6

Comparando as duas expressões, vemos que
uxy = 2cos(x+2y) - 2xsin(x+2y) e uyx = 2cos(x+2y) - 2xsin(x+2y),
logo elas coincidem.

Resposta

As derivadas mistas são iguais, ambas valendo
partial^2 upartial xpartial y = partial^2 upartial ypartial x = 2cos(x+2y) - 2xsin(x+2y)

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