Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira.
Se A e B são matrizes simétricas, então A B=B A.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se a afirmação "Se A e B são matrizes simétricas, então A cdot B = B cdot A" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como elas se comportam quando multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que os elementos estão dispostos de forma simétrica em relação à diagonal principal.

Passo 3

Agora, queremos saber se duas matrizes simétricas A e B necessariamente comutam, ou seja, se A cdot B = B cdot A. Em geral, isso não é garantido apenas pelo fato de serem simétricas. Para que duas matrizes simétricas comutem, elas devem satisfazer condições adicionais, como serem simultaneamente diagonalizáveis.

Passo 4

Portanto, a afirmação original é falsa. Duas matrizes simétricas não necessariamente comutam.

Resposta

Falsa. Para que A cdot B = B cdot A, além de A e B serem simétricas, é necessário que elas comutem ou sejam simultaneamente diagonalizáveis.

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