Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
O conjunto dos polinômios cujos os coeficientes são pares é um subespaço vetorial o espaço dos polinômios.
O conjunto dos polinômios cujos os coeficientes são pares é um subespaço vetorial o espaço dos polinômios.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
de todos os polinômios com coeficientes em
. Para isso, precisamos checar:
- o polinômio zero está em
, -
é fechado sob adição, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
O polinômio zero tem todos os coeficientes iguais a
, que é um número par, logo
. Se
e
têm todos os coeficientes pares, então cada coeficiente de
é soma de dois pares, portanto ainda par. Isso mostra o fechamento sob adição.
Passo 3
Para testar o fechamento sob multiplicação por escalar, tome por exemplo
Então
e o coeficiente de
é
, que não é par. Logo
, o que quebra o fechamento por escalar.
Resposta
A afirmativa é falsa.