Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
O conjunto dos polinômios cujos os coeficientes são pares é um subespaço vetorial o espaço dos polinômios.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = lp(x)=a0 + a1x + cdots + an x^n mid aiin 2Z forall ir
é um subespaço do espaço vetorial V de todos os polinômios com coeficientes em R. Para isso, precisamos checar:
  1. o polinômio zero está em W,
  2. W é fechado sob adição,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

O polinômio zero tem todos os coeficientes iguais a 0, que é um número par, logo 0in W. Se p(x) e q(x) têm todos os coeficientes pares, então cada coeficiente de
(p+q)(x) = l(ai + bir)x^i
é soma de dois pares, portanto ainda par. Isso mostra o fechamento sob adição.

Passo 3

Para testar o fechamento sob multiplicação por escalar, tome por exemplo
p(x)=2xin W e lambda = tfrac12inR
Então
lambda,p(x) = tfrac12cdot(2x) = x,
e o coeficiente de x é 1, que não é par. Logo lambda,pnotin W, o que quebra o fechamento por escalar.

Resposta

A afirmativa é falsa.

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