Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas só pode ser impossível ou indeterminado.
Um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas só pode ser impossível ou indeterminado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas só pode ser impossível (sem solução) ou indeterminado (infinitas soluções). O conteúdo aqui é álgebra linear, mais precisamente o Teorema de Rouché–Capelli, que relaciona posto de matriz com existência e natureza das soluções de
.
Passo 2
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema
é consistente (tem solução) se, e somente se,
Se for consistente, o conjunto solução é um afin de dimensão
onde
é o número de incógnitas.
Passo 3
No nosso caso,
é uma matriz
, logo
Como o número de incógnitas é
, temos
Isto significa que, sempre que o sistema for consistente, ele admitirá pelo menos uma família de soluções de dimensão
, ou seja, terá infinitas soluções. Caso contrário (se
), ele é impossível.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.