Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas só pode ser impossível ou indeterminado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se um sistema linear com 4 equações e 5 incógnitas só pode ser impossível (sem solução) ou indeterminado (infinitas soluções). O conteúdo aqui é álgebra linear, mais precisamente o Teorema de Rouché–Capelli, que relaciona posto de matriz com existência e natureza das soluções de A x = b.

Passo 2

Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema A x = b é consistente (tem solução) se, e somente se,
rank(A) ;=;rankl[Amid br]
Se for consistente, o conjunto solução é um afin de dimensão
n - rank(A),
onde n é o número de incógnitas.

Passo 3

No nosso caso, A é uma matriz 4times5, logo
rank(A);<=;min(4,5);=;4
Como o número de incógnitas é n=5, temos
n - rank(A);>=;5-4;=;1
Isto significa que, sempre que o sistema for consistente, ele admitirá pelo menos uma família de soluções de dimensão >=1, ou seja, terá infinitas soluções. Caso contrário (se rank(A)neqrank[Amid b]), ele é impossível.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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