Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
T(x, y, z)=x t^2+y t+z é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3 to P2(R), T(x,y,z)=x,t^2 + y,t + z
é uma transformação linear. O que precisamos lembrar é a definição: T é linear se, para todos (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)inR^3 e todo escalar alpha, valem
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2),
Tl(alpha,(x,y,z)r) = alpha,T(x,y,z)

Passo 2

Verificação da aditividade. Dados (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2),
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
então
T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = (x1+x2),t^2 + (y1+y2),t + (z1+z2)
Distribuindo, obtemos
= x1,t^2 + y1,t + z1 ;+; x2,t^2 + y2,t + z2 = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para alphainR e (x,y,z)inR^3,
alpha,(x,y,z) = (alpha x,;alpha y,;alpha z),
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T(alpha x,;alpha y,;alpha z) = (alpha x),t^2 + (alpha y),t + (alpha z) = alphal(x,t^2 + y,t + zr) = alpha,T(x,y,z)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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