Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se T: R^2 longrightarrow R^2 é um operador linear que possui somente um autovalor com multiplicidade geométrica um, T não é diagonalizável.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver.
Enunciado: Temos um operador linear T: R^2 R^2 que possui somente um autovalor com multiplicidade geométrica igual a um. Precisamos verificar se a afirmação “T não é diagonalizável” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com operadores lineares, autovalores, multiplicidade geométrica e diagonalização de matrizes.
O que vamos precisar: Entender o que significa um operador ser diagonalizável e como a multiplicidade geométrica dos autovalores influencia nessa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear ser diagonalizável.
Diagonalizável: Um operador linear T é diagonalizável se existe uma base de R^2 composta por vetores próprios de T . Isso equivale a dizer que existe uma matriz diagonal semelhante à matriz de T .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é multiplicidade geométrica.
Multiplicidade Geométrica: Para um autovalor lambda de T , a multiplicidade geométrica é o número de vetores próprios linearmente independentes associados a lambda . Isso também corresponde à dimensão do espaço próprio de lambda .
No nosso caso, a multiplicidade geométrica é igual a um, ou seja, existe apenas um vetor próprio (até escala) associado ao único autovalor de T .

Passo 4

Para um operador ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos seus autovalores deve ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 2.
No nosso caso: Temos apenas um autovalor com multiplicidade geométrica igual a 1. Isso significa que a soma das multiplicidades geométricas é 1, que é menor que 2.

Passo 5

Como a soma das multiplicidades geométricas (1) é menor que a dimensão do espaço (2), isso implica que não há vetores próprios suficientes para formar uma base de R^2 .
Portanto, não podemos diagonalizar o operador T , pois faltam vetores próprios para compor a base necessária.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O operador T não é diagonalizável.

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