Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se
é um operador linear que possui somente um autovalor com multiplicidade geométrica um,
não é diagonalizável.
Se
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver.
Enunciado: Temos um operador linear
que possui somente um autovalor com multiplicidade geométrica igual a um. Precisamos verificar se a afirmação “T não é diagonalizável” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com operadores lineares, autovalores, multiplicidade geométrica e diagonalização de matrizes.
O que vamos precisar: Entender o que significa um operador ser diagonalizável e como a multiplicidade geométrica dos autovalores influencia nessa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear ser diagonalizável.
Diagonalizável: Um operador linear
é diagonalizável se existe uma base de
composta por vetores próprios de
. Isso equivale a dizer que existe uma matriz diagonal semelhante à matriz de
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é multiplicidade geométrica.
Multiplicidade Geométrica: Para um autovalor
de
, a multiplicidade geométrica é o número de vetores próprios linearmente independentes associados a
. Isso também corresponde à dimensão do espaço próprio de
.
No nosso caso, a multiplicidade geométrica é igual a um, ou seja, existe apenas um vetor próprio (até escala) associado ao único autovalor de
.
Passo 4
Para um operador ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos seus autovalores deve ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 2.
No nosso caso: Temos apenas um autovalor com multiplicidade geométrica igual a 1. Isso significa que a soma das multiplicidades geométricas é 1, que é menor que 2.
Passo 5
Como a soma das multiplicidades geométricas (1) é menor que a dimensão do espaço (2), isso implica que não há vetores próprios suficientes para formar uma base de
.
Portanto, não podemos diagonalizar o operador
, pois faltam vetores próprios para compor a base necessária.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O operador
não é diagonalizável.