Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente un contra-exemplo.
( 1 ponto) \alpha=\left\{t^{3},-t+1, t^{2}-5 t, 5\right\} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau até 3.
Passo 1
O enunciado pergunta se \alpha = \{\,t^{3},\;-t+1,\;t^{2}-5t,\;5\}
é uma base de P_{3}, o espaço dos polinômios de grau até 3. Para isso, lembramos que \dim P_{3}=4 e que um conjunto de 4 vetores em um espaço de dimensão 4 é base se, e somente se, for linearmente independente.
Passo 2
Como \alpha tem exatamente 4 elementos, basta mostrar que eles são linearmente independentes. Em outras palavras, precisamos provar que a única relação
a\,t^{3}+b\,(-t+1)+c\,(t^{2}-5t)+d\,(5)=0
(igualdade de polinômios) ocorre quando a=b=c=d=0.
Passo 3
Expandindo a combinação linear e agrupando termos semelhantes, temos
Para que esse polinômio seja o polinômio nulo, cada coeficiente deve ser zero. Logo obtemos o sistema
\begin{cases} a = 0,\\\ c = 0,\\\\ -b - 5c = 0,\\\ b + 5d = 0. \end{cases}
Passo 5
Das duas primeiras equações vem a=0 e c=0. Substituindo c=0 na terceira, obtém-se -b=0, ou seja b=0. Por fim, b=0 na quarta dá 5d=0, logo d=0. Assim a única solução é
a=b=c=d=0,
o que prova que \alpha é linearmente independente.
Passo 6
Concluímos que \alpha é um conjunto de 4 vetores linearmente independentes em P_{3}. Portanto, \alpha é base de P_{3}.