Verifique que:
Se \alpha \in \mathbb{C} é uma raiz de um polinômio P(z) com coeficientes reais, então \bar{\alpha} também o é.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
P(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0
com a_k\in\mathbb{R} e informa que \alpha\in\mathbb{C} satisfaz
P(\alpha)=0.
Queremos mostrar que então
P(\overline{\alpha})=0.
Para isso, usaremos as propriedades de conjugação para soma e produto, e o fato de que \overline{a_k}=a_k quando a_k é real.

Passo 2

Partindo de P(\alpha)=0, tomamos o conjugado de ambos os lados:
\overline{P(\alpha)}=\overline{0}=0.
Por linearidade da conjugação e multiplicatividade, e usando \overline{a_k}=a_k, temos
\overline{P(\alpha)} =\overline{\sum_{k=0}^n a_k\,\alpha^k} =\sum_{k=0}^n \overline{a_k\,\alpha^k} =\sum_{k=0}^n \overline{a_k}\,\overline{\alpha}^k =\sum_{k=0}^n a_k\,\overline{\alpha}^k =P(\overline{\alpha}).

Passo 3

Como \overline{P(\alpha)}=0 e \overline{P(\alpha)}=P(\overline{\alpha}), segue que
P(\overline{\alpha})=0.
Portanto, \overline{\alpha} é também raiz de P(z).

Resposta

\overline{\alpha} é raiz de P(z).

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