Verifique que \alpha é uma raiz de f(x), determine a sua multiplicidade r e escreva f(x)=(x-\alpha)^{r} q(x) :
f(x)=-x^{4}+11 x^{3}-38 x^{2}+52 x-24, \alpha=2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que \alpha=2 é raiz do polinômio
f(x)=-x^{4}+11x^{3}-38x^{2}+52x-24,
determinar a multiplicidade r dessa raiz e escrever
f(x)=(x-2)^{r}q(x).
O conteúdo envolve teste de raiz e fatoração de polinômio por divisão sintética.

Passo 2

Verificamos se x=2 anula f. Calculando
f(2)=-2^{4}+11\cdot2^{3}-38\cdot2^{2}+52\cdot2-24 =-16+88-152+104-24=0.
Como f(2)=0, concluímos que (x-2) é fator de f(x).

Passo 3

Fazemos divisão sintética de f(x) por (x-2). Os coeficientes de f são -1,11,-38,52,-24. Aplicando sintética com 2, obtemos quociente
p_{1}(x)=-x^{3}+9x^{2}-20x+12
e resto 0.

Passo 4

Testamos agora p_{1}(2):
p_{1}(2)=-2^{3}+9\cdot2^{2}-20\cdot2+12=-8+36-40+12=0.
Como novamente obtivemos zero, (x-2) divide p_{1}(x). Novamente por divisão sintética com coeficientes -1,9,-20,12 e 2, o novo quociente é
p_{2}(x)=-x^{2}+7x-6
e resto 0.

Passo 5

Verificamos p_{2}(2)=-2^{2}+7\cdot2-6=-4+14-6=4\neq0. Logo não há terceira divisão exata e a raiz 2 aparece exatamente r=2 vezes.

Resposta

A multiplicidade é r=2 e
q(x)=-x^{2}+7x-6,
portanto
f(x)=(x-2)^{2}\bigl(-x^{2}+7x-6\bigr).

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