1.4 Verifique as alternativas se são verdadeiras ou falsas:
Se A B=0, então A=0 e B=0

Passo 1

O enunciado pergunta se, para matrizes A e B, a condição
A,B = 0
implica necessariamente A = 0 e B = 0. O conteúdo aqui é álgebra linear e teoria de anéis: em particular, a existência (ou não) de divisores de zero no anel de matrizes.

Passo 2

Em anéis comutativos sem divisores de zero (como Z ou campos), xy=0 implica x=0 ou y=0. Mas o anel Mn(K) das matrizes ntimes n sobre um corpo K não é um domínio de integridade: existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero. Basta encontrar um contraexemplo.

Passo 3

Considere matrizes 2times 2 sobre R:
A = 1 & 0 [-6pt] 0 & 0 , B = 0 & 0 [-6pt] 0 & 1
Elas são ambas diferentes de 0, mas
A,B = 1cdot 0 + 0cdot 0 & 1cdot 0 + 0cdot 1 [-4pt] 0cdot 0 + 0cdot 0 & 0cdot 0 + 0cdot 1 = 0 & 0 [-4pt] 0 & 0 =0 ]

Passo 4

Como exibimos Aneq0 e Bneq0 com A,B=0, a afirmação geral “se A,B=0 então A=0 e B=0” é falsa.

Resposta

Falsa

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