Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(A)=\left(a_{11}, a_{22}\right)

Passo 1

O enunciado define \displaystyle T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{2}
por \displaystyle T(A)=(a_{11},a_{22})
para A=(a_{ij}).
Queremos verificar se T é transformação linear, ou seja, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M_{2}(\mathbb{R}). Então A+B=(a_{ij}+b_{ij}) e
T(A+B)=(a_{11}+b_{11},\,a_{22}+b_{22}) =(a_{11},a_{22})+(b_{11},b_{22}) =T(A)+T(B).

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Para \lambda\in\mathbb{R}, \lambda A=(\lambda a_{ij}) e
T(\lambda A)=(\lambda a_{11},\,\lambda a_{22}) =\lambda\,(a_{11},a_{22}) =\lambda\,T(A).

Resposta

A aplicação T é transformação linear.

Exercícios relacionados