Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z)

Passo 1

O enunciado define a aplicação T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 por \r
\;T(x,y,z) = (x,2y,3z). \r
Para decidir se T é transformação linear, precisamos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja \r \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3. Então \r \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) e \r
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl(x_1+x_2,\;2(y_1+y_2),\;3(z_1+z_2)\bigr) = (x_1,2y_1,3z_1)+(x_2,2y_2,3z_2) = T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in \mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z). Então \r c\,\mathbf{u}=(cx,cy,cz) e \r
T(c\,\mathbf{u}) = (cx,\;2(cy),\;3(cz)) = c\,(x,2y,3z) = c\,T(\mathbf{u}).

Passo 4

Como T satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que é transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

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