Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(2 x, 3 y, 3 z, 0)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z)=(2x,\,3y,\,3z,\,0)
e pede para verificar se T é linear.
Conteúdo: definição de transformação linear, que exige duas propriedades para todo u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade).
  2. T(\alpha u)=\alpha\,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
logo
T(u+v) =(2(x_1+x_2),\,3(y_1+y_2),\,3(z_1+z_2),\,0) =(2x_1+2x_2,\;3y_1+3y_2,\;3z_1+3z_2,\;0).
Por outro lado,
T(u)+T(v) =(2x_1,3y_1,3z_1,0)+(2x_2,3y_2,3z_2,0) =(2x_1+2x_2,\;3y_1+3y_2,\;3z_1+3z_2,\;0).
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Para todo escalar \alpha e todo u=(x_1,y_1,z_1),
\alpha u=(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1),
então
T(\alpha u) =(2\alpha x_1,\,3\alpha y_1,\,3\alpha z_1,\,0) =(\alpha\,2x_1,\;\alpha\,3y_1,\;\alpha\,3z_1,\;0) =\alpha\,(2x_1,3y_1,3z_1,0) =\alpha\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados