Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(2 x-3 y, 3 y-4 z, 4 z-3 x, 1)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \displaystyle T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}
definida por
T(x,y,z) = \bigl(2x-3y,\;3y-4z,\;4z-3x,\;1\bigr).
Para ser transformação linear, T precisa satisfazer duas propriedades para todos \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha:
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).
  2. T(\alpha \mathbf{u}) = \alpha\,T(\mathbf{u}).
    Um critério rápido é checar se T(\mathbf{0})=\mathbf{0}.

Passo 2

Calculemos
T(0,0,0) = \bigl(2\cdot0-3\cdot0,\;3\cdot0-4\cdot0,\;4\cdot0-3\cdot0,\;1\bigr) = (0,0,0,1).
Se T fosse linear, deveríamos ter T(0,0,0) = (0,0,0,0).

Passo 3

Como T(0,0,0) = (0,0,0,1)\neq(0,0,0,0), a propriedade de levar o vetor zero no domínio ao vetor zero no contradomínio falha. Portanto T não é linear.

Resposta

A aplicação T não é transformação linear.

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