Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(c) T: P2 P2 tal que T(a x^2+b x+c)=a(x+1)^2+b(x+1)+c.

Passo 1

Estamos em P2, o espaço dos polinômios de grau até 2. A aplicação é
Tl(a x^2+b x+cr)=a(x+1)^2+b(x+1)+c,
ou seja, T é o operador que troca x por x+1. Para verificar se T é linear, basta checar que para quaisquer polinômios p,qin P2 e escalares alpha,betainR valha
Tl(alpha p+beta qr) =alpha,T(p)+beta,T(q)

Passo 2

Sejam
p(x)=a x^2+b x+c, q(x)=a' x^2+b' x+c',
e alpha,betainR. Então
Tl(alpha p+beta qr)(x) &=Tl((alpha a+beta a')x^2+(alpha b+beta b')x+(alpha c+beta c')r) &=(alpha a+beta a')(x+1)^2+(alpha b+beta b')(x+1)+(alpha c+beta c') &=alphal[a(x+1)^2+b(x+1)+cr] +betal[a'(x+1)^2+b'(x+1)+c'r] &=alpha,T(p)(x)+beta,T(q)(x)
Isso mostra que T preserva soma e multiplicação por escalar, logo é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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