Verifique se as aplicações dadas são Transformações Lineares. Em caso negativo, identifique qual(is) condições não são satisfeitas:
T: R^2 R^2 definida como T(x, y)=(x y, y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
,TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y) = (x,y,;y)
é uma transformação linear. Para isso, precisamos checar duas condições para todo u,vinR^2 e todo escalar ainR:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(a,u)=a,T(u).

Passo 2

Testando a aditividade, seja
u=(x1,y1), v=(x2,y2)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2),
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T(u+v) = l((x1+x2)(y1+y2),;y1+y2r) = l(x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2,;y1+y2r)
Por outro lado,
T(u)+T(v) = (x1y1,;y1) + (x2y2,;y2) = (x1y1 + x2y2,;y1+y2)
Como em geral
x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 neq x1y1 + x2y2,
a aditividade falha.

Passo 3

Testando a homogeneidade, seja ainR e (x,y)inR^2. Então
Tl(a(x,y)r) = T(ax,;ay) = l((ax)(ay),;ayr) = l(a^2,x,y,;a,yr),
enquanto
a,T(x,y) = a,(x y,;y) = l(a,x,y,;a,yr)
Como geralmente a^2xy neq a,xy (para aneq0,1), a homogeneidade também não se satisfaz.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(x,y,y) não é linear, pois não satisfaz nem a condição de aditividade nem a de homogeneidade.

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