Verifique: argcosh(raizx^2+1)=argsenh(|x|).

Passo 1

A gente precisa provar que argcosh(raizx^2+1) = argsenh(|x|). O conteúdo é funções hiperbólicas inversas. Vamos usar as definições de argcosh e argsenh e a propriedade raizx^2=|x|.

Passo 2

A definição de argcosh(y) para y>=1 é
[
\operatorname{argcosh}(y) = \ln\bigl(y + \sqrt{y^2 - 1}\bigr)
]
Substituindo y = raizx^2+1 temos
[
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{(\sqrt{x2+1})2 - 1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2}\bigr)
]
e como raizx^2=|x| segue
[
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + |x|\bigr)
]

Passo 3

A definição de argsenh(u) para todo u real é
[
\operatorname{argsenh}(u) = \ln\bigl(u + \sqrt{u^2 + 1}\bigr)
]
Tomando u = |x| resulta
[
\operatorname{argsenh}(|x|) = \ln\bigl(|x| + \sqrt{|x|^2 + 1}\bigr) = \ln\bigl(|x| + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)
]

Passo 4

Como ambas expressões ficaram iguais, concluímos que
[
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \operatorname{argsenh}(|x|)
]

Resposta

argcosh(raizx^2+1) = argsenh(|x|)

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