Verifique:
.
Passo 1
A gente precisa provar que
. O conteúdo é funções hiperbólicas inversas. Vamos usar as definições de
e
e a propriedade
.
Passo 2
A definição de
para
é
[
\operatorname{argcosh}(y) = \ln\bigl(y + \sqrt{y^2 - 1}\bigr)
]
\operatorname{argcosh}(y) = \ln\bigl(y + \sqrt{y^2 - 1}\bigr)
]
Substituindo
temos
[
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{(\sqrt{x2+1})2 - 1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2}\bigr)
]
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{(\sqrt{x2+1})2 - 1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2}\bigr)
]
e como
segue
[
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + |x|\bigr)
]
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{x^2+1} + |x|\bigr)
]
Passo 3
A definição de
para todo
real é
[
\operatorname{argsenh}(u) = \ln\bigl(u + \sqrt{u^2 + 1}\bigr)
]
\operatorname{argsenh}(u) = \ln\bigl(u + \sqrt{u^2 + 1}\bigr)
]
Tomando
resulta
[
\operatorname{argsenh}(|x|) = \ln\bigl(|x| + \sqrt{|x|^2 + 1}\bigr) = \ln\bigl(|x| + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)
]
\operatorname{argsenh}(|x|) = \ln\bigl(|x| + \sqrt{|x|^2 + 1}\bigr) = \ln\bigl(|x| + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)
]
Passo 4
Como ambas expressões ficaram iguais, concluímos que
[
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \operatorname{argsenh}(|x|)
]
\operatorname{argcosh}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = \operatorname{argsenh}(|x|)
]