Verifique se os bens A e B são substitutos ou complementares considerando suas equações de demanda nos seguintes casos:
q_{A}=\frac{5 p_{B}}{2+p_{A}^{2}} e q_{B}=\frac{3 p_{A}}{3+\sqrt{p_{B}}}

Passo 1

O enunciado fornece as funções de demanda dos bens A e B:
q_{A}=\frac{5\,p_{B}}{2+p_{A}^{2}}
q_{B}=\frac{3\,p_{A}}{3+\sqrt{p_{B}}}
Queremos verificar se são substitutos ou complementares. Para isso, usamos o critério do sinal da derivada cruzada:
– Se \partial q_{A}/\partial p_{B}>0 e \partial q_{B}/\partial p_{A}>0, são bens substitutos;
– Se essas derivadas forem negativas, são bens complementares.

Passo 2

Calculamos a derivada de q_{A} em relação a p_{B}. Como q_{A}=(5\,p_{B})/(2+p_{A}^{2}), trata-se de uma função linear em p_{B} cujo coeficiente é constante em relação a p_{B}. Assim,
\frac{\partial q_{A}}{\partial p_{B}} =\frac{5}{2+p_{A}^{2}}.
Note que o denominador 2+p_{A}^{2} é sempre positivo, logo esta derivada é positiva.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de q_{B} em relação a p_{A}. Como
q_{B}=\frac{3\,p_{A}}{3+\sqrt{p_{B}}},
o numerador é 3\,p_{A} e o denominador é constante em relação a p_{A}. Logo,
\frac{\partial q_{B}}{\partial p_{A}} =\frac{3}{3+\sqrt{p_{B}}}.
Aqui também o denominador é sempre positivo, tornando a derivada positiva.

Passo 4

As duas derivadas cruzadas
\frac{\partial q_{A}}{\partial p_{B}}>0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial q_{B}}{\partial p_{A}}>0
indicam que, quando o preço de um bem sobe, a demanda pelo outro bem aumenta. Isto caracteriza bens substitutos.

Resposta

Os bens A e B são substitutos.

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