Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: R^3 R, T(x, y, z)=x+y-z.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^3toR, T(x,y,z)=x+y-z
e pede para verificar se T é linear. Para isso vamos usar a definição de aplicação linear, que exige duas propriedades: aditividade
;T(u+v)=T(u)+T(v); e homogeneidade escalar
;T(lambda u)=lambda,T(u).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
T(u+v) = Tl(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2r) = (x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2)
T(u+v) = (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2) = T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2) = T(u)+T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade escalar. Seja lambdainR e u=(x,y,z). Então
T(lambda u) = T(lambda x,;lambda y,;lambda z) = lambda x+lambda y-lambda z = lambda,(x+y-z) = lambda,T(x,y,z) = lambda,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma aplicação linear.

Resposta

A aplicação T(x,y,z)=x+y-z é linear.

Exercícios relacionados