Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: R^2 R^3, T(x, y)=(x+y, y-x, 0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Tcolon R^2toR^3, T(x,y) = (x+y,;y-x,;0)
é uma aplicação linear. Para isso vamos usar o critério padrão: mostrar que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, isto é,
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,vinR^2,
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) para todo alphainR e uinR^2.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
Aplicando T em u+v:
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l((x1+x2)+(y1+y2),;(y1+y2)-(x1+x2),;0r)
Reescrevendo:
T(u+v) = l(x1+y1 + x2+y2,;y1-x1 + y2-x2,;0r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (x1+y1,;y1-x1,;0) + (x2+y2,;y2-x2,;0) = l(x1+y1 + x2+y2,;y1-x1 + y2-x2,;0r)
Logo
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e u=(x,y). Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y)
Aplicando T:
T(alpha u) = T(alpha x,;alpha y) = (alpha x + alpha y,;alpha y - alpha x,;0) = alpha,(x+y,;y-x,;0) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.

Resposta

A aplicação T é linear.

Exercícios relacionados