Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é uma aplicação linear. Para isso vamos usar o critério padrão: mostrar que
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, isto é,
-
para todo , -
para todo e .
Passo 2
Verificação da aditividade. Seja
e
. Então
Aplicando
em
:
Reescrevendo:
Por outro lado,
Logo
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
Aplicando
:
Passo 4
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.
Resposta
A aplicação
é linear.