Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: R^3 M(2, R), T(x, y, z)=(ccz & x y & cos z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a aplicação T: R^3 M(2, R) , definida por
T(x, y, z) = z & x y & cos z ,
é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que precisam obedecer a duas propriedades principais: preservação da adição e da multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se T manda o vetor zero de R^3 no elemento zero de M(2, R) . Isso significa verificar se
T(0, 0, 0) = 0 & 0 0 & cos 0 = 0 & 0 0 & 1
Para uma transformação ser linear, ela deve enviar o vetor zero para a matriz zero. Aqui, vemos que T(0, 0, 0) neq 0 porque cos 0 = 1 . Isso já nos dá um problema.

Passo 3

Mesmo que já tivéssemos visto que T(0, 0, 0) não é a matriz zero, vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor. Vamos checar a adição:
Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) . Então,
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = z1 + z2 & x1 + x2 y1 + y2 & cos(z1 + z2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = z1 & x1 y1 & cos z1 + z2 & x2 y2 & cos z2 = z1 + z2 & x1 + x2 y1 + y2 & cos z1 + cos z2
Comparando as duas matrizes, vemos que cos(z1 + z2) neq cos z1 + cos z2 em geral, o que significa que a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Vamos também verificar a multiplicação por escalar. Seja a um número real e u = (x, y, z) . Então,
T(au) = T(ax, ay, az) = az & ax ay & cos(az)
Por outro lado,
aT(u) = a z & x y & cos z = az & ax ay & a cos z
Aqui, cos(az) geralmente não é igual a a cos z , a menos que a = 1 ou z = 0 , o que não é garantido. Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.

Resposta

A aplicação T não é linear porque não satisfaz as propriedades de preservação da adição e da multiplicação por escalar.

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