Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: M(n, C) M(n, C), T(X)=X B-B X, sendo B in M(n, C) fixada.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de Álgebra Linear onde a gente precisa verificar se a aplicação T: M(n, C) M(n, C) , definida por T(X) = XB - BX , é linear. Vamos usar conceitos de transformações lineares, que são funções que preservam operações como adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos checar se T respeita essas duas propriedades fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se T preserva a adição. Isso significa que pra qualquer duas matrizes X e Y , a gente deve ter:
T(X + Y) = T(X) + T(Y)
Vamos calcular cada lado:
Do lado esquerdo:
T(X + Y) = (X + Y)B - B(X + Y) = XB + YB - BX - BY
Do lado direito:
T(X) + T(Y) = (XB - BX) + (YB - BY) = XB + YB - BX - BY
Como os dois lados são iguais ( XB + YB - BX - BY ), concluímos que T preserva a adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se T preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer escalar a e qualquer matriz X , precisamos que:
T(aX) = aT(X)
Vamos calcular cada lado:
Do lado esquerdo:
T(aX) = (aX)B - B(aX) = a(XB) - a(BX) = a(XB - BX)
Do lado direito:
aT(X) = a(XB - BX)
Como T(aX) = aT(X) , descobrimos que T também preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Já que T mantém tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, a aplicação T(X) = XB - BX é uma transformação linear.

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