Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
, sendo
fixada.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de Álgebra Linear onde a gente precisa verificar se a aplicação
, definida por
, é linear. Vamos usar conceitos de transformações lineares, que são funções que preservam operações como adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos checar se
respeita essas duas propriedades fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
preserva a adição. Isso significa que pra qualquer duas matrizes
e
, a gente deve ter:
Vamos calcular cada lado:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como os dois lados são iguais (
), concluímos que
preserva a adição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer escalar
e qualquer matriz
, precisamos que:
Vamos calcular cada lado:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como
, descobrimos que
também preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Já que
mantém tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, a aplicação
é uma transformação linear.