Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: M(n, K) K, T(A)=tr(A), sendo tr(A) o traço de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se uma certa aplicação é linear. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre aplicações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma aplicação linear e como calcular o traço de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função T é linear se ela respeita duas propriedades básicas:
  1. Adição: T(A + B) = T(A) + T(B)
  2. Multiplicação por escalar: T(cA) = cT(A)
Isso significa que se a aplicação cumprir essas duas regras para quaisquer matrizes A e B e qualquer escalar c , então ela é linear.

Passo 3

Agora, vamos entender o que a aplicação T faz. Ela pega uma matriz A de tamanho n times n e retorna o seu traço, denotado por tr(A) . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, se A for:
A = a11 & a12 a21 & a22
então:
tr(A) = a11 + a22

Passo 4

Vamos verificar a primeira propriedade da linearidade: a aditividade. Seja A e B matrizes quaisquer de M(n, K) . Então:
T(A + B) = tr(A + B)
Sabemos que o traço é uma operação que soma os elementos da diagonal, então:
tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = T(A) + T(B)
Isso mostra que T respeita a adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a homogeneidade (multiplicação por escalar). Seja c um escalar qualquer e A uma matriz de M(n, K) . Então:
T(cA) = tr(cA)
Multiplicar uma matriz por um escalar multiplica cada elemento, incluindo os da diagonal principal. Portanto:
tr(cA) = c cdot tr(A) = cT(A)
Isso mostra que T respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, a aplicação T é linear.

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