Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
, sendo
o traço de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se uma certa aplicação é linear. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre aplicações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma aplicação linear e como calcular o traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função
é linear se ela respeita duas propriedades básicas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Isso significa que se a aplicação cumprir essas duas regras para quaisquer matrizes
e
e qualquer escalar
, então ela é linear.
Passo 3
Agora, vamos entender o que a aplicação
faz. Ela pega uma matriz
de tamanho
e retorna o seu traço, denotado por
. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, se
for:
então:
Passo 4
Vamos verificar a primeira propriedade da linearidade: a aditividade. Seja
e
matrizes quaisquer de
. Então:
Sabemos que o traço é uma operação que soma os elementos da diagonal, então:
Isso mostra que
respeita a adição.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a homogeneidade (multiplicação por escalar). Seja
um escalar qualquer e
uma matriz de
. Então:
Multiplicar uma matriz por um escalar multiplica cada elemento, incluindo os da diagonal principal. Portanto:
Isso mostra que
respeita a multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, a aplicação
é linear.