Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente examinando propriedades de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas:
- Se o conjunto
contém o vetor zero. - Se
é fechado sob adição (ou seja, a soma de dois elementos de também está em ). - Se
é fechado sob multiplicação por escalar (ou seja, qualquer múltiplo de um elemento de também está em ).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero, no contexto de polinômios, é o polinômio
. Para que isso esteja em
, devemos ter
,
e
. Como
, o vetor zero está sim em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Pegamos dois polinômios quaisquer em
:
A soma deles é:
Como
, as somas
,
e
também estarão em
. Portanto,
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Vamos pegar um polinômio qualquer em
:
E multiplicar por um escalar
(vamos supor que
pertence ao corpo sobre o qual
está definido, geralmente os números reais
):
Para que
esteja em
,
,
e
devem ser inteiros, já que
. Porém, se
não for um inteiro, esses produtos podem não ser inteiros. Por exemplo, se
e
, então
.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não é fechado sob multiplicação por escalares.