Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de P3 :
W=p(x)=a+b x+c x^2 ; a, b, c in Z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto W = p(x) = a + b x + c x^2 ; a, b, c in Z é um subespaço vetorial de P3 . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente examinando propriedades de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas:
  1. Se o conjunto W contém o vetor zero.
  2. Se W é fechado sob adição (ou seja, a soma de dois elementos de W também está em W ).
  3. Se W é fechado sob multiplicação por escalar (ou seja, qualquer múltiplo de um elemento de W também está em W ).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W . O vetor zero, no contexto de polinômios, é o polinômio p(x) = 0 . Para que isso esteja em W , devemos ter a = 0 , b = 0 e c = 0 . Como 0 in Z , o vetor zero está sim em W .

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Pegamos dois polinômios quaisquer em W :
p(x) = a + b x + c x^2 e q(x) = d + e x + f x^2
A soma deles é:
p(x) + q(x) = (a + d) + (b + e)x + (c + f)x^2
Como a, b, c, d, e, f in Z , as somas a + d , b + e e c + f também estarão em Z . Portanto, p(x) + q(x) in W . Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Vamos pegar um polinômio qualquer em W :
p(x) = a + b x + c x^2
E multiplicar por um escalar k (vamos supor que k pertence ao corpo sobre o qual P3 está definido, geralmente os números reais R ):
k cdot p(x) = (k a) + (k b) x + (k c) x^2
Para que k cdot p(x) esteja em W , k a , k b e k c devem ser inteiros, já que a, b, c in Z . Porém, se k não for um inteiro, esses produtos podem não ser inteiros. Por exemplo, se k = 12 e a = 1 , então k a = 12 notin Z .

Resposta

Não, o conjunto W não é um subespaço vetorial de P3 , pois não é fechado sob multiplicação por escalares.

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