Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), espaço das funções reais de uma variável, com as operações usuais e
\mathcal{S}_{1}=\{f \in V \mid f é par \} ; \quad \mathcal{S}_{2}=\{f \in V \mid f(0)=1\} ;
\mathcal{S}_{3}=\{f \in V \mid f(0)=f(1)\} ; \quad \mathcal{S}_{4}=\{f \in V \mid f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

Vou escrever com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Espaço ambiente: V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), isto é, o espaço de todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com as operações usuais (adição ponto a ponto e multiplicação por escalar).
  • Subconjuntos dados:
    • \mathcal{S}_{1}=\{f\in V \mid f\\ \text{é par}\}é.
    • \mathcal{S}_{2}=\{f\in V \mid f(0)=1\}.
    • \mathcal{S}_{3}=\{f\in V \mid f(0)=f(1)\}.
    • \mathcal{S}_{4}=\{f\in V \mid f(x)>0,\\ \forall x\in\mathbb{R}\}.
O enunciado pede: para cada um desses \mathcal{S}_i, verificar se é subespaço vetorial de V.

Passo 2

Lembrete prático: critério para um subconjunto W\subseteq V ser subespaço vetorial.
  • Definição útil e suficiente: W é subespaço de V se e somente se
    1. W é não vazio (costuma-se verificar que o vetor zero de V pertence a W);
    2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
  • Observação prática: provar que o zero pertence a W e as duas clausuras acima é suficiente; uma falha em qualquer uma delas já prova que W não é subespaço.
  • No nosso caso, o zero de V é a função nula definida por 0_V(x)=0 para todo x.
Agora vou aplicar esse critério a cada \mathcal{S}_i, com argumentos passo a passo e exemplos quando for útil.

Passo 3

  • Definição: f é par quando \forall x\in\mathbb{R}, f(-x)=f(x).
  • Verificar se 0_V\in\mathcal{S}_1: para todo x, 0_V(-x)=0=0_V(x). Logo 0_V\in\mathcal{S}_1.
  • Fechamento por adição: sejam f,g\in\mathcal{S}_1. Então, para todo x, (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).Assim f+g também é par, ou seja f+g\in\mathcal{S}_1.
  • Fechamento por multiplicação escalar: seja c\in\mathbb{R} e f\in\mathcal{S}_1. Então, para todo x, (c f)(-x)=c\cdot f(-x)=c\cdot f(x)=(c f)(x).Logo c f é par, ou seja c f\in\mathcal{S}_1.
  • Conclusão para \mathcal{S}_1: satisfaz todas as propriedades, portanto \mathcal{S}_1 é subespaço vetorial de V.
Comentário informal: intuitivamente, soma e escalares preservam a propriedade de simetria par — faz sentido.

Passo 4

  • Verificar se 0_V\in\mathcal{S}_2: temos 0_V(0)=0, e 0\neq1. Portanto 0_V\notin\mathcal{S}_2.
  • Pelo critério, a ausência do vetor zero já basta para concluir que \mathcal{S}_2 não é subespaço. Mas mostro também uma falha em fechamento por escalar para fixar a ideia:
    • Tome f\in\mathcal{S}_2, por exemplo a função constante f(x)=1 pertence a \mathcal{S}_2.
    • Considere o escalar c=0. Então (0\cdot f)(0)=0, que não é igual a 1. Assim 0\cdot f\notin\mathcal{S}_2.
  • Conclusão para \mathcal{S}_2: não é subespaço vetorial de V.
Comentário informal: \mathcal{S}_2 é uma reta afim (transladação do subespaço das funções que valem zero em 0), não um subespaço linear.

Passo 5

  • Primeiro, 0_V(0)=0=0_V(1), então 0_V\in\mathcal{S}_3.
  • Fechamento por adição: sejam f,g\in\mathcal{S}_3. Então (f+g)(0)=(f(0)+g(0))=(f(1)+g(1))=(f+g)(1).Portanto f+g\in\mathcal{S}_3.
  • Fechamento por multiplicação escalar: seja c\in\mathbb{R} e f\in\mathcal{S}_3. Então (c f)(0)=c\cdot f(0)=c\cdot f(1)=(c f)(1).Assim c f\in\mathcal{S}_3.
  • Observação extra (ligação conceitual): \mathcal{S}_3 é o núcleo da aplicação linear L:V\to\mathbb{R} dada por L(f)=f(0)-f(1). O núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço. Isso explica de forma compacta por que \mathcal{S}_3 é subespaço.
  • Conclusão para \mathcal{S}_3: \mathcal{S}_3 é subespaço vetorial de V.
Comentário informal: a condição f(0)=f(1) é uma condição linear (homogênea) sobre os valores de f, por isso fecha as operações lineares.

Passo 6

  • Verificar se 0_V\in\mathcal{S}_4: para todo x, 0_V(x)=0. Mas a condição exige f(x)>0 para todo x, então 0_V\notin\mathcal{S}_4.
  • Além disso, falha a propriedade de multiplicação por escalares: tome f(x)=1 (constante), então f\in\mathcal{S}_4. Se c=-1 então (c f)(x)=-1 para todo x, que não é estritamente positivo; logo -1\cdot f\notin\mathcal{S}_4.
  • Mesmo que a soma de duas funções positivas seja positiva (ou seja, fechamento por adição pode até ocorrer), a falha em conter o zero e em ser fechado por escalares (por exemplo por escalares negativos ou por 0) basta para descartar \mathcal{S}_4 como subespaço.
  • Conclusão para \mathcal{S}_4: \mathcal{S}_4 não é subespaço vetorial de V.
Comentário informal: exigir positividade estrita é uma condição não linear (não homogênea), portanto não combina com a ideia de subespaço.

Passo 7

Recapitulando brevemente, com a intuição por trás de cada caso:
  • \mathcal{S}_1 e \mathcal{S}_3 satisfazem as condições de subespaço porque suas definições são condições lineares/homogêneas (simetria par; igualdade de valores em dois pontos).
  • \mathcal{S}_2 e \mathcal{S}_4 falham porque não contêm o vetor zero e não são fechados por multiplicação escalar (condições não homogêneas: fixar f(0)=1 ou pedir f(x)>0 para todo x).

Resposta

\mathcal{S}_1 é subespaço vetorial de V.
\mathcal{S}_2 não é subespaço vetorial de V.
\mathcal{S}_3 é subespaço vetorial de V.
\mathcal{S}_4 não é subespaço vetorial de V.

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