Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, espaço das funções reais de uma variável, com as operações usuais e
é par
.
Passo 1
Vou escrever com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
- Espaço ambiente:
, isto é, o espaço de todas as funções com as operações usuais (adição ponto a ponto e multiplicação por escalar). - Subconjuntos dados:
-
. -
. -
. -
.
-
O enunciado pede: para cada um desses
, verificar se é subespaço vetorial de
.
Passo 2
Lembrete prático: critério para um subconjunto
ser subespaço vetorial.
-
Definição útil e suficiente:
é subespaço de se e somente se -
é não vazio (costuma-se verificar que o vetor zero de pertence a ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
-
-
Observação prática: provar que o zero pertence a
e as duas clausuras acima é suficiente; uma falha em qualquer uma delas já prova que não é subespaço. -
No nosso caso, o zero de
é a função nula definida por para todo .
Agora vou aplicar esse critério a cada
, com argumentos passo a passo e exemplos quando for útil.
Passo 3
- Definição:
é par quando , . - Verificar se
: para todo , . Logo . - Fechamento por adição: sejam
. Então, para todo , Assim também é par, ou seja . - Fechamento por multiplicação escalar: seja
e . Então, para todo , Logo é par, ou seja . - Conclusão para
: satisfaz todas as propriedades, portanto é subespaço vetorial de .
Comentário informal: intuitivamente, soma e escalares preservam a propriedade de simetria par — faz sentido.
Passo 4
- Verificar se
: temos , e . Portanto . - Pelo critério, a ausência do vetor zero já basta para concluir que
não é subespaço. Mas mostro também uma falha em fechamento por escalar para fixar a ideia: - Tome
, por exemplo a função constante pertence a . - Considere o escalar
. Então , que não é igual a . Assim .
- Tome
- Conclusão para
: não é subespaço vetorial de .
Comentário informal:
é uma reta afim (transladação do subespaço das funções que valem zero em
), não um subespaço linear.
Passo 5
- Primeiro,
, então . - Fechamento por adição: sejam
. Então Portanto . - Fechamento por multiplicação escalar: seja
e . Então Assim . - Observação extra (ligação conceitual):
é o núcleo da aplicação linear dada por . O núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço. Isso explica de forma compacta por que é subespaço. - Conclusão para
: é subespaço vetorial de .
Comentário informal: a condição
é uma condição linear (homogênea) sobre os valores de
, por isso fecha as operações lineares.
Passo 6
- Verificar se
: para todo , . Mas a condição exige para todo , então . - Além disso, falha a propriedade de multiplicação por escalares: tome
(constante), então . Se então para todo , que não é estritamente positivo; logo . - Mesmo que a soma de duas funções positivas seja positiva (ou seja, fechamento por adição pode até ocorrer), a falha em conter o zero e em ser fechado por escalares (por exemplo por escalares negativos ou por
) basta para descartar como subespaço. - Conclusão para
: não é subespaço vetorial de .
Comentário informal: exigir positividade estrita é uma condição não linear (não homogênea), portanto não combina com a ideia de subespaço.
Passo 7
Recapitulando brevemente, com a intuição por trás de cada caso:
-
e satisfazem as condições de subespaço porque suas definições são condições lineares/homogêneas (simetria par; igualdade de valores em dois pontos). -
e falham porque não contêm o vetor zero e não são fechados por multiplicação escalar (condições não homogêneas: fixar ou pedir para todo ).