Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
todas as matrizes da forma
, com
.
Lembrando: uma matriz é inversível se, e somente se, seu deteminante é diferente de zero.
todas as matrizes da forma
Lembrando: uma matriz é inversível se, e somente se, seu deteminante é diferente de zero.
Passo 1
O enunciado apresenta dois subconjuntos de
:
e
Queremos verificar quais deles são subespaços vetoriais de
.
Passo 2
Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
-
, onde é o vetor (aqui, a matriz) zero. - Para quaisquer
, (fechamento sob adição). - Para qualquer escalar
e qualquer , (fechamento sob multiplicação escalar).
Passo 3
Analisando
:
- A matriz zero
satisfaz
, logo
.
2. Se
2. Se
têm
e
, então
tem soma dos elementos
.
Portanto .
3. Se e
, então
Portanto
3. Se
tem soma
, logo
.
Assim, satisfaz os três critérios e é subespaço.
Assim,
Passo 4
Analisando
:
- A matriz zero não é invertível (
), logo . - Mesmo que ignoremos o zero, a soma de duas matrizes invertíveis pode ser singular (por exemplo,
e somam-se na matriz zero).
Portantonão contém e não é fechado sob adição, de modo que não é subespaço.
Resposta
Somente o subconjunto definido por
é subespaço de
; o conjunto das matrizes invertíveis não é.