Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de M2 times 2(R):
todas as matrizes da forma [lla & b c & d], com a+b+ c+d=0.
Lembrando: uma matriz é inversível se, e somente se, seu deteminante é diferente de zero.

Passo 1

O enunciado apresenta dois subconjuntos de :
e
Queremos verificar quais deles são subespaços vetoriais de .

Passo 2

Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições:
  1. 0in S, onde 0 é o vetor (aqui, a matriz) zero.
  2. Para quaisquer X,Yin S, X+Yin S (fechamento sob adição).
  3. Para qualquer escalar lambdainR e qualquer Xin S, lambda Xin S (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 3

Analisando :
  1. A matriz zero
satisfaz , logo .
2. Se
têm e , então
tem soma dos elementos
.
Portanto .
3. Se e , então
tem soma , logo .
Assim, satisfaz os três critérios e é subespaço.

Passo 4

Analisando S2:
  1. A matriz zero não é invertível ( det(0)=0), logo 0notin S2.
  2. Mesmo que ignoremos o zero, a soma de duas matrizes invertíveis pode ser singular (por exemplo, I e -I somam-se na matriz zero).
    Portanto S2 não contém 0 e não é fechado sob adição, de modo que não é subespaço.

Resposta

Somente o subconjunto definido por a+b+c+d=0 é subespaço de M2times2(R); o conjunto das matrizes invertíveis não é.

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