Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{3^{n}}.
O conteúdo utilizado será o teste da razão para verificar convergência absoluta (isto é, da série de termos positivos \sum n^{2}/3^{n}) e a consequência de que convergência absoluta implica convergência.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta consideramos
\displaystyle a_{n} = \frac{(-1)^{n}n^{2}}{3^{n}} e portanto
\displaystyle |a_{n}| = \frac{n^{2}}{3^{n}}.
Aplicamos o teste da razão à série \sum|a_{n}|:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{2}/3^{\,n+1}}{n^{2}/3^{\,n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
Como L=\tfrac{1}{3}<1, a série \sum|a_{n}| converge pelo teste da razão.

Passo 3

Convergência da série de módulos ( \sum|a_{n}|) significa que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternante.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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