Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{3 n}}{n^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}2^{3n}}{n^{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos primeiro testar a convergência absoluta, usando o Critério da Raiz.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}2^{3n}}{n^{n}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{3n}}{n^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8^{n}}{n^{n}}.

Passo 3

Aplicamos o Critério da Raiz: definimos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{8^{n}}{n^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{8}{n}.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{8}{n}=0<1,
o Critério da Raiz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8^{n}}{n^{n}}
converge.

Passo 5

Como a série de módulos converge, a série original converge absolutamente. Logo, não cabe testar convergência condicional nem divergência: a classificação é absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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