Verifique, em cada caso, se a transformação
é linear:
, sendo
a derivada do polinômio
.
Passo 1
O enunciado define a transformação
onde
é o espaço dos polinômios de grau
. O objetivo é verificar se
é linear, ou seja, se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Recordando a definição, uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer
e qualquer escalar
, valem
Passo 3
Verificação da aditividade:
sejam . Pela regra de derivada da soma,
sejam
Mas
e
, logo
Passo 4
Verificação da homogeneidade:
para todo e
, pela regra de derivada de constante multiplicativa,
para todo
Como
, segue
Passo 5
Observação adicional: se
tem grau
, então
tem grau
, portanto pertence a
. Assim
está bem definida em todo domínio e imagem.
Resposta
A transformação
dada por
é linear.