Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: Pn(R) Pn(R), T(p)=p^prime, sendo p^prime a derivada do polinômio p.

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon Pn(R) to Pn(R), T(p)=p',
onde Pn(R) é o espaço dos polinômios de grau <= n. O objetivo é verificar se T é linear, ou seja, se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Recordando a definição, uma transformação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer p,qin Pn(R) e qualquer escalar alphainR, valem
T(p+q)=T(p)+T(q) e T(alpha p)=alpha,T(p)

Passo 3

Verificação da aditividade:
sejam p,qin Pn(R). Pela regra de derivada da soma,
T(p+q)=(p+q)'=p'+q'
Mas p'=T(p) e q'=T(q), logo
T(p+q)=T(p)+T(q)

Passo 4

Verificação da homogeneidade:
para todo alphainR e pin Pn(R), pela regra de derivada de constante multiplicativa,
T(alpha p)=(alpha p)'=alpha,p'
Como p'=T(p), segue
T(alpha p)=alpha,T(p)

Passo 5

Observação adicional: se p tem grau <= n, então p' tem grau <= n-1, portanto pertence a Pn(R). Assim T está bem definida em todo domínio e imagem.

Resposta

A transformação Tcolon Pn(R)to Pn(R) dada por T(p)=p' é linear.

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