Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: R^3 R^3, T(x, y)=(x+y, x, 0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x + y,;x,;0,)
é linear. O conteúdo necessário é a definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para quaisquer vetores
u,vinR^3 e escalar alpha, valem
T(u+v) = T(u) + T(v) e T(alpha,u) = alpha,T(u)

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v) = l((x1+x2)+(y1+y2),;x1+x2,;0r) = (x1+y1,;x1,;0) + (x2+y2,;x2,;0) = T(u) + T(v)

Passo 4

Para homogeneidade, seja alphainR. Então
alpha,u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1)
e
T(alpha,u) = l(alpha x1 + alpha y1,;alpha x1,;0r) = alpha,(x1+y1,;x1,;0) = alpha,T(u)

Passo 5

Como verificamos tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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