Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=2 x-3 y+4 z.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=2x-3y+4z,
e nos pede para verificar se T é linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, para todo u,vinR^3 e todo alphainR, valem
T(u+v) = T(u) + T(v) e T(alphau) = alpha,T(u)

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
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T(u+v) = 2(x1+x2) - 3(y1+y2) + 4(z1+z2) = l(2x1-3y1+4z1r) + l(2x2-3y2+4z2r) = T(u) + T(v)

Passo 3

Para um escalar alpha e u=(x1,y1,z1), temos
alpha,u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1),
então
T(alpha,u) = 2(alpha x1) - 3(alpha y1) + 4(alpha z1) = alphal(2x1-3y1+4z1r) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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