Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=R^3, W=(a, b, a+b+1), a, b in R.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = R^3 e o conjunto
W = (a,b,a+b+1)mid a,binR
Queremos verificar se W é subespaço de V. Pela definição, para ser subespaço W deve satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a condição de conter o vetor zero (0,0,0). Se existissem a,b tais que
(a,b,a+b+1) = (0,0,0),
então a=0 e b=0, mas aí o terceiro componente seria
a+b+1 = 0+0+1 = 1 neq 0
Portanto (0,0,0)notin W, ou seja, W não contém o vetor zero.

Passo 3

Como a inclusão do vetor zero é uma condição necessária para subespaço, já podemos concluir que W não é subespaço de V.
(Em particular, nem vale a pena verificar fechamento sob soma ou escalar, mas poderia-se mostrar também que, por exemplo, para v=(1,0,2)in W e lambda=2 temos lambda v=(2,0,4)notin W, falhando a segunda condição.)

Resposta

Não, W não é subespaço de V.

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