Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=M22, W=[cca & b b & 2 a], a, b in R

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M2times 2(R) e o subconjunto
W = a & b [6pt] b & 2a : a,binR
Precisamos verificar se W é subespaço de V, isto é, conferir (i) se o vetor zero está em W, (ii) fechamento em soma e (iii) fechamento em multiplicação por escalar.]

Passo 2

Verificar se o zero de V pertence a W. O zero em M2times 2 é
0 = 0 & 0 0 & 0
Tomando a=0 e b=0 no parâmetro de W, obtemos
0 & 0 [3pt] 0 & 2cdot 0 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0,
logo 0in W.]

Passo 3

Verificar fechamento em soma. Sejam
X = a & b [3pt] b & 2a, Y = c & d [3pt] d & 2c
em W. Então
X + Y = a+c & b+d [3pt] b+d & 2a + 2c = a+c & b+d [3pt] b+d & 2,(a+c)
Como a+c e b+d são reais, X+Y tem a mesma forma e portanto X+Yin W.]

Passo 4

Verificar fechamento em multiplicação por escalar. Para lambdainR e
X = a & b [3pt] b & 2ain W,
temos
lambda X = lambda a & lambda b [3pt] lambda b & 2,lambda a = a' & b' [3pt] b' & 2a',
onde a'=lambda a e b'=lambda b são reais. Logo lambda Xin W.]

Resposta

W é subespaço de V.

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