Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=M22, W=[lla & b c & d]: a d >= b c.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M2times2(R) e o subconjunto
W = la & b c & dcolon a d >= b cr
Precisamos checar se W satisfaz as três condições de subespaço: contém o vetor zero, fechado sob multiplicação escalar e fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero pertence a W. A matriz zero é
0 & 0 0 & 0, nela temos a d = 0 e b c = 0, logo
0 = a d >= b c = 0,
então a matriz zero está em W.

Passo 3

Checamos a multiplicação escalar. Seja lambdainR e
M = a & b c & din W, então a d >= b c.
Em lambda M os elementos são lambda a,lambda b,lambda c,lambda d, e o critério vira
(lambda a)(lambda d) >= (lambda b)(lambda c) Long<=ftrightarrow lambda^2,a d >= lambda^2,b c
Como lambda^2>=0, essa desigualdade é equivalente a a d >= b c, logo lambda Min W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Agora testamos o fechamento sob adição. Sejam
M1=1 & 30 & 1, M2=1 & 03 & 1
Para cada um temos
det(M1)=1cdot1-3cdot0=1>=0, det(M2)=1cdot1-0cdot3=1>=0,
então M1,M2in W. Mas
M1+M2 =2 & 33 & 2
tem
det(M1+M2)=2cdot2-3cdot3=4-9=-5<0,
logo (M1+M2)notin W. Isso mostra que W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é um subespaço de V.

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