Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=P2, W=b x+c x^2.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P2, ou seja, o conjunto de todos os polinômios de grau <=2 com coeficientes em um corpo (por exemplo, R). O subconjunto é
W = ,b x + c x^2 mid b,c in R,
isto é, todos os polinômios de grau até 2 que não têm termo constante. Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar que
1. 0 in W,
2. W é fechado sob adição,
3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo está em W. Basta escolher b=0 e c=0. Então
0V = 0cdot x + 0cdot x^2 = 0
está em W.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam
p(x)=b1 x + c1 x^2 e q(x)=b2 x + c2 x^2
dois elementos de W. Então
p(x)+q(x) = (b1+b2),x + (c1+c2),x^2,
que também é da forma b'x + c'x^2. Logo p+qin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e
p(x)=b x + c x^2in W
Então
alpha,p(x) = (alpha b),x + (alpha c),x^2,
novamente da forma b'x + c'x^2. Logo alpha pin W.

Resposta

W é um subespaço de V.

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