Verifique em cada um dos casos abaixo se
é um subespaço de
.
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e o subconjunto
Precisamos verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso usamos as três condições típicas:
-
não pode ser vazio (deve conter o polinômio zero), -
deve ser fechado sob soma, -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o polinômio zero está em
. O polinômio zero em
é
cuja soma de coeficientes é
Portanto o zero pertence a
, logo
não é vazio.
Passo 3
Verificamos a clausura sob soma. Sejam
dois polinômios em
. Então
A soma é
e a soma dos coeficientes dá
Logo
.
Passo 4
Verificamos a clausura sob multiplicação escalar. Seja
e
com
. Então
e
Assim
.