Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=P2, W=a+b x+c x^2: a+b+c=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P2 (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
W = ,a + b x + c x^2 mid a + b + c = 0
Precisamos verificar se W é subespaço vetorial de V. Para isso usamos as três condições típicas:
  1. W não pode ser vazio (deve conter o polinômio zero),
  2. W deve ser fechado sob soma,
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o polinômio zero está em W. O polinômio zero em P2 é
0 + 0x + 0x^2,
cuja soma de coeficientes é
0 + 0 + 0 = 0
Portanto o zero pertence a W, logo W não é vazio.

Passo 3

Verificamos a clausura sob soma. Sejam
p(x) = a1 + b1 x + c1 x^2, q(x) = a2 + b2 x + c2 x^2
dois polinômios em W. Então
a1 + b1 + c1 = 0 e a2 + b2 + c2 = 0
A soma é
p(x) + q(x) = (a1 + a2) + (b1 + b2)x + (c1 + c2)x^2,
e a soma dos coeficientes dá
(a1 + a2) + (b1 + b2) + (c1 + c2) = (a1 + b1 + c1) + (a2 + b2 + c2) = 0 + 0 = 0
Logo p+qin W.

Passo 4

Verificamos a clausura sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
p(x) = a1 + b1 x + c1 x^2in W,
com a1 + b1 + c1 = 0. Então
lambda p(x) = (lambda a1) + (lambda b1)x + (lambda c1)x^2
e
lambda a1 + lambda b1 + lambda c1 = lambda,(a1 + b1 + c1) = lambda cdot 0 = 0
Assim lambda pin W.

Resposta

W é subespaço de V.

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