Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(1,0),(0,1),(0,0), E=R^2;

Passo 1

A questão pede para verificar se o conjunto X=(1,0),(0,1),(0,0) gera o espaço E=R^2. O conteúdo é geração de espaço vetorial (ou span) e vamos precisar usar a definição de combinação linear e subespaço gerado.

Passo 2

Para gerar E, o span de X, ou seja, todas as combinações lineares dos vetores de X, precisa ser igual a R^2.
Observamos que o vetor (0,0) é o vetor nulo e não contribui para o span, pois qualquer combinação linear envolvendo (0,0) é redundante. Então efetivamente temos span(X)=span(1,0),(0,1)

Passo 3

Os vetores (1,0) e (0,1) são a base canônica de R^2. Sabemos que qualquer vetor (x,y)inR^2 pode ser escrito como combinação linear:
(x,y)=x,(1,0)+y,(0,1)
Portanto span(1,0),(0,1)=R^2, logo X gera E.

Resposta

Sim, o conjunto X gera E=R^2.

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