Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função
, definida por
, é bijetora. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função). Se a função for bijetora, também vamos encontrar sua inversa
. Se não for, vamos ajustar o domínio ou o contradomínio para torná-la bijetora e então encontrar a inversa nessa nova situação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer
e
em
,
implica
.
Vamos supor que
:
Resolvendo essa equação, perceberemos que
necessariamente será igual a
. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento no contradomínio
é atingido por algum
no domínio
.
Vamos analisar os limites da função
:
- Quando
, , então . - Quando
, , então . Para esclarecer, dividimos numerador e denominador por :
Portanto, os valores de
variam de 0 a
, excluindo esses limites. Como o contradomínio é exatamente
, a função é sobrejetora.
Passo 4
Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Agora, vamos encontrar a inversa da função
.
Para encontrar
, onde
, seguimos os passos:
- Troque
por :
- Resolva para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Isolando termos com
:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a inversa da função é:
Resposta
A função
é bijetora, e sua inversa é
.