Verifique se cada função f abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine f^-1. Caso f não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que f se torne bijetora e determine a inversa de f nesta situação.
f: R (0, 12), x mapsto e^x1+2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função f: R (0, 12) , definida por f(x) = e^x1 + 2 e^x , é bijetora. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função). Se a função for bijetora, também vamos encontrar sua inversa f^-1 . Se não for, vamos ajustar o domínio ou o contradomínio para torná-la bijetora e então encontrar a inversa nessa nova situação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer x1 e x2 em R , f(x1) = f(x2) implica x1 = x2 .
Vamos supor que f(x1) = f(x2) :
e^x11 + 2 e^x1 = e^x21 + 2 e^x2
Resolvendo essa equação, perceberemos que x1 necessariamente será igual a x2 . Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento no contradomínio (0, 12) é atingido por algum x no domínio R .
Vamos analisar os limites da função f(x) :
  • Quando x to -infty , e^x to 0 , então f(x) to 01 + 0 = 0 .
  • Quando x to +infty , e^x to +infty , então f(x) to +infty1 + 2 cdot +infty = +infty+infty . Para esclarecer, dividimos numerador e denominador por e^x :
f(x) = 11e^x + 2 to 10 + 2 = 12
Portanto, os valores de f(x) variam de 0 a 12 , excluindo esses limites. Como o contradomínio é exatamente (0, 12) , a função é sobrejetora.

Passo 4

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Agora, vamos encontrar a inversa da função f .
Para encontrar f^-1(y) , onde y = f(x) = e^x1 + 2 e^x , seguimos os passos:
  1. Troque f(x) por y :
y = e^x1 + 2 e^x
  1. Resolva para x :
Multiplicando ambos os lados por 1 + 2 e^x :
y (1 + 2 e^x) = e^x
Distribuindo o y :
y + 2 y e^x = e^x
Isolando termos com e^x :
2 y e^x - e^x = -y
Fatorando e^x :
e^x (2 y - 1) = -y
Resolvendo para e^x :
e^x = -y2 y - 1 = y1 - 2 y
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
x = ln ( y1 - 2 y )
Então, a inversa da função é:
f^-1(y) = ln ( y1 - 2 y )

Resposta

A função f(x) = e^x1 + 2 e^x é bijetora, e sua inversa é f^-1(y) = ln ( y1 - 2 y ) .

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