Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
Vamos analisar a função dada:
. O objetivo é verificar se essa função é bijetora, ou seja, se ela é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função). Se for bijetora, encontraremos sua inversa
. Caso contrário, faremos ajustes no domínio ou contradomínio para que ela se torne bijetora e então determinaremos a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, para
,
. A função
é uma função exponencial crescente, ou seja, conforme
aumenta,
também aumenta sem repetir valores. Portanto, ela é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se todo número real
no contradomínio
tem um correspondente
no domínio tal que
. Observando
, sabemos que
é sempre positivo, então
sempre será maior que 1. Isso significa que
não consegue alcançar valores menores ou iguais a 1. Logo, a função não é sobrejetora no contradomínio
.
Passo 4
Como a função não é bijetora no conjunto completo dos números reais, precisamos restringir o contradomínio para que ela seja sobrejetora. Sabemos que
resulta em valores de
no intervalo
. Portanto, vamos definir o contradomínio como
.
Passo 5
Com essa restrição, a função
se torna bijetora: ainda é injetora porque não tem valores repetidos, e agora também é sobrejetora porque todo
será atingido por algum
. Agora, podemos encontrar a função inversa
.
Passo 6
Para encontrar a inversa, começamos com
. Queremos expressar
em termos de
:
Portanto, a função inversa é
.
Resposta
A função
,
não é bijetora no conjunto completo dos números reais. Contudo, ao restringir o contradomínio para
, a função torna-se bijetora e sua inversa é
.