Verifique se cada função f abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine f^-1. Caso f não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que f se torne bijetora e determine a inversa de f nesta situação.
f: R R, x mapsto 2^x+1

Passo 1

Vamos analisar a função dada: f: R R, x mapsto 2^x + 1 . O objetivo é verificar se essa função é bijetora, ou seja, se ela é ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função). Se for bijetora, encontraremos sua inversa f^-1 . Caso contrário, faremos ajustes no domínio ou contradomínio para que ela se torne bijetora e então determinaremos a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, para x1 neq x2 , f(x1) neq f(x2) . A função f(x) = 2^x + 1 é uma função exponencial crescente, ou seja, conforme x aumenta, f(x) também aumenta sem repetir valores. Portanto, ela é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se todo número real y no contradomínio R tem um correspondente x no domínio tal que f(x) = y . Observando f(x) = 2^x + 1 , sabemos que 2^x é sempre positivo, então f(x) sempre será maior que 1. Isso significa que f(x) não consegue alcançar valores menores ou iguais a 1. Logo, a função não é sobrejetora no contradomínio R .

Passo 4

Como a função não é bijetora no conjunto completo dos números reais, precisamos restringir o contradomínio para que ela seja sobrejetora. Sabemos que f(x) = 2^x + 1 resulta em valores de y no intervalo (1, +infty) . Portanto, vamos definir o contradomínio como (1, +infty) .

Passo 5

Com essa restrição, a função f se torna bijetora: ainda é injetora porque não tem valores repetidos, e agora também é sobrejetora porque todo y > 1 será atingido por algum x . Agora, podemos encontrar a função inversa f^-1 .

Passo 6

Para encontrar a inversa, começamos com y = 2^x + 1 . Queremos expressar x em termos de y :
y = 2^x + 1 y - 1 = 2^x x = log2(y - 1)
Portanto, a função inversa é f^-1(y) = log2(y - 1) .

Resposta

A função f: R R , f(x) = 2^x + 1 não é bijetora no conjunto completo dos números reais. Contudo, ao restringir o contradomínio para (1, +infty) , a função torna-se bijetora e sua inversa é f^-1(y) = log2(y - 1) .

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