Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
O enunciado dá a função
Queremos verificar se
é bijetora, ou seja, injetiva e sobrejetiva. Para isso, vamos recordar que
– é injetiva se
implica
.
– é sobrejetiva se, para todo
no contradomínio, existe
no domínio tal que
.
Se não for bijetora, precisaremos restringir domínio ou contradomínio para tornar bijetora e então achar
.
–
–
Se não for bijetora, precisaremos restringir domínio ou contradomínio para tornar
Passo 2
Verificando a injetividade: suponha
ou seja
Como a função raiz quadrada sobre é estritamente crescente, isso implica
Como a função raiz quadrada sobre
Logo,
é injetiva no domínio original.
Passo 3
Verificando a sobrejetividade: precisamos ver se, para todo
, existe
com
. Se
, não há
tal que
. Portanto não conseguimos atingir valores negativos, e
não é sobrejetiva de
em
.
Passo 4
Para tornar
bijetora, basta restringir o contradomínio aos valores que realmente aparecem como raízes, isto é, ao intervalo
. Assim consideramos
que é injetiva (já vimos) e agora também sobrejetiva, pois para cada
existe
com
.
Passo 5
Encontrando a inversa: seja
e queira-se
tal que
Elevando ao quadrado, obtemos
Logo a inversa é
Resposta
A função
,
, é injetiva mas não sobrejetiva em
. Restrigindo o contradomínio para
, obtemos uma bijeção
cuja inversa é