Verifique se cada função f abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine f^{-1}. Caso f não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que f se torne bijetora e determine a inversa de f nesta situação.
f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R},\quad x\mapsto\sqrt{x}.
Queremos verificar se f é bijetora, ou seja, injetiva e sobrejetiva. Para isso, vamos recordar que
f é injetiva se f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2.
f é sobrejetiva se, para todo y no contradomínio, existe x no domínio tal que f(x)=y.
Se não for bijetora, precisaremos restringir domínio ou contradomínio para tornar f bijetora e então achar f^{-1}.

Passo 2

Verificando a injetividade: suponha
f(x_1)=f(x_2),
ou seja \sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}.
Como a função raiz quadrada sobre [0,+\infty) é estritamente crescente, isso implica
x_1 = x_2.
Logo, f é injetiva no domínio original.

Passo 3

Verificando a sobrejetividade: precisamos ver se, para todo y\in\mathbb{R}, existe x\ge0 com \sqrt{x}=y. Se y<0, não há x\ge0 tal que \sqrt{x}=y. Portanto não conseguimos atingir valores negativos, e f não é sobrejetiva de [0,+\infty) em \mathbb{R}.

Passo 4

Para tornar f bijetora, basta restringir o contradomínio aos valores que realmente aparecem como raízes, isto é, ao intervalo [0,+\infty). Assim consideramos
f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty),\quad x\mapsto\sqrt{x},
que é injetiva (já vimos) e agora também sobrejetiva, pois para cada y\ge0 existe x=y^2 com \sqrt{x}=y.

Passo 5

Encontrando a inversa: seja y\in[0,+\infty) e queira-se x tal que
y = \sqrt{x}.
Elevando ao quadrado, obtemos
x = y^2.
Logo a inversa é
f^{-1}\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty),\quad y\mapsto y^2.

Resposta

A função f\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x}, é injetiva mas não sobrejetiva em \mathbb{R}. Restrigindo o contradomínio para [0,+\infty), obtemos uma bijeção
f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty),
cuja inversa é
f^{-1}(y)=y^2.

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