Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime+4 y^prime+3 y=t, y1(t)=t / 3, y2(t)=e^-t+t / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y'' + 4y' + 3y = t . Nosso objetivo aqui é verificar se as funções y1(t) = t3 e y2(t) = e^-t + t3 são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas dessas funções e substituir na equação original para ver se tudo se iguala certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a função y1(t) = t3 .
Calculando a primeira derivada de y1 :
y1'(t) = ddt ( t3 ) = 13
Agora, a segunda derivada:
y1''(t) = ddt ( 13 ) = 0

Passo 3

Agora, substituímos y1(t) , y1'(t) e y1''(t) na equação diferencial:
y'' + 4y' + 3y = 0 + 4 ( 13 ) + 3 ( t3 )
= 0 + 43 + t
= t + 43
A equação original é t , então:
t + 43 neq t
Isso mostra que y1(t) = t3 não é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos verificar a função y2(t) = e^-t + t3 .
Calculando a primeira derivada de y2 :
y2'(t) = ddt ( e^-t ) + ddt ( t3 ) = -e^-t + 13
Calculando a segunda derivada:
y2''(t) = ddt ( -e^-t + 13 ) = e^-t + 0 = e^-t

Passo 5

Substituímos y2(t) , y2'(t) e y2''(t) na equação diferencial:
y'' + 4y' + 3y = e^-t + 4 ( -e^-t + 13 ) + 3 ( e^-t + t3 )
= e^-t - 4e^-t + 43 + 3e^-t + t
= (1 - 4 + 3)e^-t + 43 + t
= 0 cdot e^-t + 43 + t
= t + 43
Mais a equação original é t , então:
t + 43 neq t
Isso mostra que y2(t) = e^-t + t3 não é uma solução da equação diferencial.

Resposta

Nenhuma das funções y1(t) = t3 e y2(t) = e^-t + t3 é solução da equação diferencial y'' + 4y' + 3y = t .

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