Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime-2 y=-1, y=e^t integral0^t e^-s d s+e^t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(t)=e^tintegral0^te^-s,ds ;+;e^t
satisfaz a equação diferencial linear
y'(t)-2,y(t)=-1
Vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo para derivar a integral e da regra do produto.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada de
y1(t)=e^tintegral0^te^-s,ds
Pela regra do produto e pelo Teorema Fundamental,
ddtl[e^tintegral0^te^-s,dsr] =e^tintegral0^te^-s,ds ;+;e^tcdot e^-t =e^tintegral0^te^-s,ds ;+;1
Além disso,
ddt[e^t]=e^t
Logo,
y'(t) =underbraceddty1(t)=,e^tintegral0^te^-sds+1 ;+; underbraceddte^t=,e^t =e^tintegral0^te^-s,ds ;+;1 ;+;e^t

Passo 3

Agora substituímos em y'-2y:
y'(t)-2,y(t) =l(e^t!!integral0^te^-sds+1+e^tr) -2l(e^t!!integral0^te^-sds+e^tr)

Passo 4

Distribuindo o -2 e agrupando termos,
y'-2y =e^t!!integral0^te^-sds +1 + e^t -2e^t!!integral0^te^-sds -2e^t =-,e^t!!integral0^te^-sds +1 - e^t
Para ver melhor se isso é sempre -1, note que
integral0^te^-s,ds =l[-e^-sr]0^t =1-e^-t,
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e^t!!integral0^te^-s,ds =e^t(1-e^-t)=e^t-1
Substituindo de volta,
y'-2y=-(e^t-1)+1-e^t =-e^t+1+1-e^t =-2e^t+2

Passo 5

O resultado é
y'(t)-2y(t)=-2e^t+2,
que não é identicamente igual a -1 para todo t. Portanto, a função dada não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função não é solução da equação diferencial y'-2y=-1.

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