Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=Mn(R), n >= 2.
a) W=A in V; A é simétrica }).
b) W=A in V; A é inversível }).
c) W=A in V; A é não inversível }).
d) W=A in V ; A^2=A.

Passo 1

O enunciado pede para cada subconjunto Wsubseteq V, com V=Mn(R), verificar se W é subespaço vetorial. O conteúdo principal é a caracterização de subespaço: mostrar que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Recordando a definição, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. 0in W.
  2. Para quaisquer X,Yin W, tem-se X+Yin W.
  3. Para qualquer escalar cinR e qualquer Xin W, tem-se cXin W.

Passo 3

a) W=Ain V;A é simétricaéé.
O zero é simétrico, pois 0^T=0. Se A e B são simétricos, (A+B)^T=A^T+B^T=A+B. Se cinR, (cA)^T=cA^T=cA. Logo, W contém 0 e é fechado sob soma e escalares. Portanto, é subespaço.

Passo 4

b) W=Ain V;A é inversíveléí.
O zero não é inversível, logo 0notin W. Além disso, a soma de duas matrizes inversíveis nem sempre é inversível. Basta um desses fatos para concluir que W não é subespaço.

Passo 5

c) W=Ain V;A é não inversíveléãí.
O zero é não inversível, então 0in W. Para escalar c, se A é singular então cA também é singular (se cneq0, det(cA)=c^ndet(A)=0; se c=0, cA=0). Contudo, não há fechamento sob soma: por exemplo, em M2(R)
A=1&00&0, B=0&00&1
são singulares, mas A+B=I é inversível. Logo, W não é subespaço.

Passo 6

d) W=Ain V;A^2=A (matrizes idempotentes).
O zero satisfaz 0^2=0, logo está em W. Mas para um escalar genérico c e Ain W temos
(cA)^2=c^2A^2=c^2Aneq cA
exceto se c=0 ou c=1. Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalares e não é subespaço.

Resposta

a) é subespaço.
b) não é subespaço.
c) não é subespaço.
d) não é subespaço.

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