Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
.
a)
;
é simétrica }).
b)
;
é inversível }).
c)
;
é não inversível }).
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para cada subconjunto
, com
, verificar se
é subespaço vetorial. O conteúdo principal é a caracterização de subespaço: mostrar que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Recordando a definição, um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
-
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para qualquer escalar
e qualquer , tem-se .
Passo 3
a)
.
O zero é simétrico, pois . Se
e
são simétricos,
. Se
,
. Logo,
contém
e é fechado sob soma e escalares. Portanto, é subespaço.
O zero é simétrico, pois
Passo 4
b)
.
O zero não é inversível, logo . Além disso, a soma de duas matrizes inversíveis nem sempre é inversível. Basta um desses fatos para concluir que
não é subespaço.
O zero não é inversível, logo
Passo 5
c)
.
O zero é não inversível, então . Para escalar
, se
é singular então
também é singular (se
,
; se
,
). Contudo, não há fechamento sob soma: por exemplo, em
O zero é não inversível, então
são singulares, mas
é inversível. Logo,
não é subespaço.
Passo 6
d)
(matrizes idempotentes).
O zero satisfaz , logo está em
. Mas para um escalar genérico
e
temos
O zero satisfaz
exceto se
ou
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalares e não é subespaço.
Resposta
a) é subespaço.
b) não é subespaço.
c) não é subespaço.
d) não é subespaço.
b) não é subespaço.
c) não é subespaço.
d) não é subespaço.