Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais U e V são isomorfos, justificando a resposta:
U=M2 times 2(R), V=p in P4(R) ; p^prime(t)=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais U=M2times2(R) e V=pin P4(R) : p'(t)=0 são isomorfos. O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais e vamos precisar usar a noção de dimensão para comparar U e V.

Passo 2

Para U=M2times2(R), sabemos que uma base natural é dada pelas matrizes E11,E12,E21,E22. Logo,
dim(U)=4

Passo 3

Para V=pin P4(R) : p'(t)=0, a condição p'(t)=0 implica que p é um polinômio constante. Portanto, uma base de V é 1 e
dim(V)=1

Passo 4

Do critério de isomorfismo: dois espaços vetoriais reais são isomorfos se, e somente se, tiverem a mesma dimensão. Aqui dim(U)=4 e dim(V)=1, então não são isomorfos.

Resposta

Os espaços U e V não são isomorfos, pois suas dimensões são diferentes (4 e 1, respectivamente).

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