Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto F é um subespaço vetorial do espaço vetorial E. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais em E.
E=F(R ; R)=f: R R: f é uma função , F=f in F(R ; R) mid f(1)=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
E = F(R;R)
isto é, o conjunto de todas as funções reais de variável real, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
F = ,fin F(R;R) mid f(1)=0.
Queremos verificar se F é subespaço vetorial de E.

Passo 2

Lembrando o critério de subespaço: um subconjunto Fsubseteq E é subespaço vetorial se e somente se
  1. F não é vazio (equivalente a ter o vetor zero de E em F),
  2. F é fechado sob soma, ou seja, se f,gin F então f+gin F,
  3. F é fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se fin F e alphainR então alpha fin F.

Passo 3

Verificamos o vetor zero de E. Defina ,f0(x)=0 para todo xinR. Então
f0(1)=0
logo f0in F. Portanto F não é vazio.

Passo 4

Fechamento sob soma: sejam f,gin F. Então f(1)=0 e g(1)=0. Pela definição de soma de funções,
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0,
logo f+gin F.

Passo 5

Fechamento sob escalar: seja fin F e alphainR. Então f(1)=0 e pela definição de multiplicação por escalar,
(alpha f)(1)=alphacdot f(1)=alphacdot 0=0,
logo alpha fin F.

Passo 6

Como F contém o vetor zero de E, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.

Resposta

Sim, F é um subespaço vetorial de E.

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