Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais em
.
é uma função
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
isto é, o conjunto de todas as funções reais de variável real, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
.
Queremos verificar se é subespaço vetorial de
.
isto é, o conjunto de todas as funções reais de variável real, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
Queremos verificar se
Passo 2
Lembrando o critério de subespaço: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se
-
não é vazio (equivalente a ter o vetor zero de em ), -
é fechado sob soma, ou seja, se então , -
é fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se e então .
Passo 3
Verificamos o vetor zero de
. Defina
para todo
. Então
logo
. Portanto
não é vazio.
Passo 4
Fechamento sob soma: sejam
. Então
e
. Pela definição de soma de funções,
logo
.
Passo 5
Fechamento sob escalar: seja
e
. Então
e pela definição de multiplicação por escalar,
logo
.
Passo 6
Como
contém o vetor zero de
, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.