Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V dado.
V=R^n e W=(x1, x2, ldots, xn) in R^n: sumi=1^n cj xj=0, sendo cj in R, j=1, ldots, n dados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um espaço vetorial V = R^n e um subconjunto W definido por todas as combinações lineares dos vetores em V que satisfazem a equação sumj=1^n cj xj = 0 , onde os cj são números reais dados. Nosso objetivo aqui é verificar se esse subconjunto W é realmente um subespaço de V . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor 0 deve estar em W .
  2. Fechado para adição: Se u e v estão em W , então u + v também deve estar em W .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se u está em W e k é um escalar, então ku também deve estar em W .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso subconjunto W .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em W :
O vetor zero em R^n é 0 = (0, 0, ldots, 0) . Vamos substituir xj = 0 na equação que define W :
sumj=1^n cj cdot 0 = 0
Então, a soma dá 0 , o que satisfaz a condição. Portanto, o vetor zero está em W .

Passo 4

2. Verificar se W é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u = (u1, u2, ldots, un) e v = (v1, v2, ldots, vn) que estão em W . Isso significa que:
sumj=1^n cj uj = 0 e sumj=1^n cj vj = 0
Queremos mostrar que u + v também está em W . Vamos calcular a soma:
sumj=1^n cj (uj + vj) = sumj=1^n cj uj + sumj=1^n cj vj = 0 + 0 = 0
Então, u + v também satisfaz a equação, ou seja, está em W .

Passo 5

3. Verificar se W é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer u = (u1, u2, ldots, un) em W e um escalar k in R . Sabemos que:
sumj=1^n cj uj = 0
Agora, vamos multiplicar o vetor por k :
sumj=1^n cj (k uj) = k sumj=1^n cj uj = k cdot 0 = 0
Então, ku também satisfaz a equação, ou seja, está em W .

Resposta

Como o subconjunto W contém o vetor zero, é fechado para adição e multiplicação por escalar, concluímos que W é, de fato, um subespaço do espaço vetorial V = R^n .

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