Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
e
, sendo
dados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um espaço vetorial
e um subconjunto
definido por todas as combinações lineares dos vetores em
que satisfazem a equação
, onde os
são números reais dados. Nosso objetivo aqui é verificar se esse subconjunto
é realmente um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado para adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso subconjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos substituir
na equação que define
:
Então, a soma dá
, o que satisfaz a condição. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
que estão em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
. Vamos calcular a soma:
Então,
também satisfaz a equação, ou seja, está em
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um escalar
. Sabemos que:
Agora, vamos multiplicar o vetor por
:
Então,
também satisfaz a equação, ou seja, está em
.
Resposta
Como o subconjunto
contém o vetor zero, é fechado para adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço do espaço vetorial
.