Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos (n)}{\sqrt{n} \cdot(2+\sqrt{n})}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n,
onde
a_n = \frac{2+\cos(n)}{\sqrt{n}\,(2+\sqrt{n})}.
O conteúdo aqui é testes de convergência de séries positivas, comparação e noções de convergência absoluta vs. condicional.

Passo 2

Note que para todo n vale \cos(n)\in[-1,1], logo
2+\cos(n)\ge1>0.
Assim a_n>0 para todo n. Em particular, estudar convergência de \sum a_n é o mesmo que estudar convergência absoluta, pois não há alternância de sinais.

Passo 3

Para mostrar divergência, vamos comparar a_n com uma série harmônica. Como 2+\cos(n)\ge1, temos
a_n = \frac{2+\cos(n)}{\sqrt{n}\,(2+\sqrt{n})} \ge \frac{1}{\sqrt{n}\,(2+\sqrt{n})}.
Agora, para n\ge1, \sqrt{n}\le n, então
2+\sqrt{n}\le 2+n\le 3n,
e portanto
\sqrt{n}\,(2+\sqrt{n}) \le \sqrt{n}\cdot 3n = 3n^{3/2}.
Daí
\frac{1}{\sqrt{n}\,(2+\sqrt{n})}\ge \frac{1}{3\,n^{3/2}}.
Mas a série \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n^{3/2}} converge (p-série com p=\tfrac32>1), então precisamos ajustar: em vez disso, observe diretamente que
\sqrt{n}\,(2+\sqrt{n}) = 2\sqrt{n}+n \le n + n = 2n \quad\text{para }n\ge4,
pois 2\sqrt{n}\le n. Assim, para n\ge4,
a_n \ge \frac{1}{2n}.
E \sum \tfrac{1}{2n} diverge por ser proporcional à série harmônica. Logo \sum a_n diverge por comparação direta.

Resposta

A série diverge, logo não é nem absolutamente nem condicionalmente convergente.

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