Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} n!\cdot e^{-n} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\quad\text{onde}\quad a_n = n!\,e^{-n}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr).
O conteúdo envolvido é teste da divergência (term-test) e teste da razão para séries, além de usar a expansão assintótica de \operatorname{sen}(x) quando x\to0.

Passo 2

Como n\to\infty, temos \frac{1}{n}\to0 e portanto
\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr)\sim \tfrac{1}{n}.
Assim
a_n \sim n!\,e^{-n}\,\tfrac{1}{n} = (n-1)!\,e^{-n}.

Passo 3

Para investigar o comportamento de a_n, aplicamos o teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} \;\approx\; \frac{n!\,e^{-(n+1)}\,(1/(n+1))}{(n-1)!\,e^{-n}} \;=\; \frac{n!\,e^{-1}}{(n-1)!\,(n+1)} \;=\; \frac{n}{e}\,\frac{1}{\,n+1\,} \;\sim\; \frac{n}{e\,n} \;=\; \frac{1}{e}\cdot n.
Como \frac{a_{n+1}}{a_n}\sim \frac{n}{e}\to\infty, isso indica que a_n cresce sem bound e, em particular, não tende a zero.

Passo 4

Pelo teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge), concluímos que
a_n \not\to 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n\;\text{diverge}.
Não faz sentido falar em convergência absoluta ou condicional, pois ela já falha no teste mais básico.

Resposta

A série diverge (não converge nem absolutamente nem condicionalmente).

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