Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot n^{2} \cdot(n!)^{\frac{1}{2}} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{3 n}\right)

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,n^{2}\,(n!)^{\tfrac12}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{1}{3n}\Bigr)
e queremos saber se ela converge (e, em caso afirmativo, se é absoluta ou condicional). O teste inicial que usamos é o teste da convergência necessária: se os termos gerais não tendem a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 2

Para estudar o termo geral
a_n = (-1)^{n}\,n^{2}\,(n!)^{\tfrac12}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{1}{3n}\Bigr)
precisamos do comportamento de \operatorname{sen}(1/(3n)) quando n\to\infty. Pela expansão em série de Taylor em torno de 0, temos
\operatorname{sen} x = x + O(x^3)\quad(x\to0),
logo, para x = 1/(3n),
\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{1}{3n}\Bigr) = \frac{1}{3n} + O\!\Bigl(\frac{1}{n^3}\Bigr).

Passo 3

Substituindo essa equivalência em a_n:
a_n = (-1)^{n}\,n^{2}\,(n!)^{\tfrac12} \Bigl(\frac{1}{3n} + O(\tfrac{1}{n^3})\Bigr) = (-1)^{n}\,\frac{n\,(n!)^{\tfrac12}}{3} + (-1)^{n}\,n^{2}\,(n!)^{\tfrac12}\,O\!\Bigl(\frac{1}{n^3}\Bigr).
O termo principal é
(-1)^{n}\,\frac{n\,(n!)^{\tfrac12}}{3}.

Passo 4

Note que (n!)^{\tfrac12} cresce muito mais rápido que qualquer potência de n. Portanto
\bigl|a_n\bigr| \sim \frac{n\,(n!)^{\tfrac12}}{3} \;\longrightarrow\;\infty \quad\text{quando }n\to\infty.
Em particular, \lim_{n\to\infty}a_n não é zero. Pelo teste da divergência (ou teste da convergência necessária), se os termos gerais não tendem a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge (não converge nem absolutamente nem condicionalmente).

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