Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2 cos (x y)x^2 y^2-1

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y) = e^-x^2-y^2cos(xy)x^2y^2-1
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e o uso do critério de continuidade.

Passo 2

Analiso o denominador
g(x,y)=x^2y^2-1
Como (x,y)to(0,0), temos
g(x,y)to 0cdot0 -1 = -1,
que é diferente de zero. Logo, em algum entorno de (0,0) o denominador não se anula e g é contínua.

Passo 3

Analiso o numerador
h(x,y)=e^-x^2-y^2cos(xy)
Como e^u e cos(v) são contínuas, ao aproximar (x,y) de (0,0) vale
h(x,y)to e^0cos(0)=1cdot1=1

Passo 4

Por serem numerador e denominador contínuos em (0,0) e o denominador não se anular próximo, vale
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim h(x,y)lim g(x,y) =1-1=-1

Resposta

O limite existe e é -1.

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